RSS

Günün Olasılık Sorusu: Doğumgünleri ve Tatiller

15 Feb

Kısa bir olasılık sorusu [1]:

Heryiçbir ülkesindeki iş kanununa göre fabrika sahipleri fabrikadaki işçilerden birinin doğumgünü olduğunda tüm işçilere izin vermek zorundadır ve işe işçi alırken doğumgününe bakıp ayrım yapma hakları yoktur. Bu doğumgünü tatilleri haricinde başka tatil yoktur ve 365-günlük iş yılı söz konusudur. Fabrika sahipleri fabrikada bir yıl içinde çalışılacak adam-gün sayısının beklenen değerini maksimize etmeyi istemektedir. Heryiçbir ülkesindeki fabrikaların her birinde kaç işçi çalışmaktadır?

1- Frederick Mosteller’in ‘Fifty Challenging Problems in Probability‘ kitabından alınmıştır.

Advertisements
 
9 Comments

Posted by on February 15, 2009 in General, Science

 

9 responses to “Günün Olasılık Sorusu: Doğumgünleri ve Tatiller

  1. mach

    February 16, 2009 at 02:01

    Olasılık ile aram pek iyi değil ancak şu şekilde düşünüyorum:

    “Fabrika sahipleri fabrikada bir yıl içinde çalışılacak adam-gün sayısının beklenen değerini maksimize etmeyi istemektedir.”

    Bu şartı kabul edince aşağıdaki şart sağlamayabilir:

    Heryiçbir ülkesindeki fabrika miktarına bağlı olacaktır. Heryiçbir ülkesinde 1(bir) fabrika olduğu zaman 1(bir) çalışanı 364 gün çalıştırmak mümkün olurken 365 tane fabrika olduğu zaman her birine bir işçi alındığında bütün yıl tatil yapılmış olacaktır.

     
  2. myavuzselim

    February 17, 2009 at 05:03

    Bence 183.

    T(n): n isci icin bir yilda beklenilen tatil gunu sayisi

    C(n): n * (365 – T(n)), yani bir yil icindeki adam-gun sayisi

    T fonksiyonunu hesaplamak icin rekursif olarak dusunelim. Fabrikaya yeni bir isci katildiginda tatil gunu sayisi ya ayni kalacak, ya da bir artacaktir. Bu iki ihtimalin dagilimi yine tatil gunu sayisina baglidir. Buna gore:

    T(n) = (n-1) * f(n-1)/365 + n * ( 1 – f(n-1)/365 )
    = n – f(n-1)/365

    Bunu biraz kurcalayinca su sekle de getirebiliriz:

    T(n) = n – SUM( (n-i)/365^i, i=1..n )

    Yani C(n) = 365 – n + SUM( (n-i)/365^i, i=1..n )

    Bu ifadenin turevini alamadim, ama grafigi bilgisayara cizdirince maksimum degere n=183 oldugunda ulasildigi goruluyor.

     
  3. myavuzselim

    February 17, 2009 at 13:01

    Yukarida son ifadeyi n ile ile carpmayi unutmusum. Fakat sonuc degismiyor.

     
  4. haci

    February 17, 2009 at 14:46

    türevini hesaplamaya gerek kalmadan yılı tam ortadan bölmek gerekir diye düşünüyorum.(183)(sayılar ne kadar yakınsa sonuç o kadar büyük olur)
    toplam 183 gün tatil olsa bile geri kalan 182,5 günde 183 işçi toplam 33397,5(183*182,5) birim iş yapmış olur. kaldı ki doğum günü aynı gün olan işçiler olması ihtimalide toplam faydayi bu sayınında üstüne çıkarırır.

     
  5. mach

    February 17, 2009 at 15:02

    myavuzselim bey,

    183 rakamın geçerliliği sadece 1(bir) fabrika için mi?

    Fabrika sayısının ve bunun sonucuyla doğum günlerinin aynı güne gelmeme olasılığının artmasıyla veya azalmasıyla ilgili olarak tatil günleri de değişebilir mi?

     
  6. myavuzselim

    February 17, 2009 at 19:11

    mach,

    Ben hesabimi sorudan anladigim sekilde bir fabrikaya gore yaptim. Ama gecerliligi hakkinda bir sey diyemem, istatistik sorulari insani ters koseye yatiriyor cunku 🙂

    Soruda soyle diyor:

    “Fabrika sahipleri *fabrikada* bir yıl içinde çalışılacak adam-gün sayısının beklenen değerini maksimize etmeyi istemektedir.”

     
  7. Emre Sevinc

    February 21, 2009 at 14:46

    Kitaptaki cevabı Türkçeye çevirip aktarıyorum:

    Bir fabrikada 1 işçi varken fabrika sahibi 364 adam-güne sahip olur, 2 işçi varken genellikle 2 * 363 = 726 adam-güne sahip olur ve böylece fabrikadaki çalışılacak günü maksimize etmek için 2 işçiden fazlasına gerek olduğunu anlarız. Diğer yandan eğer fabrikadaki işçi sayısı çok fazla ise senenin her günü birinin doğumgününe denk gelecektir ve bu yüzden de fabrika sürekli tatil yapacaktır. Bu yüzden maksimum işçi sayısı 2 ile sonsuz arasında bir yerde olmalıdır.

    Beklenen toplam çalışılan gün sayısını hesaplayabilirsek epey yol kat ederiz. Fabrikadaki her gün ya çalışma günüdür, ya da tatil. 365 rakamı yerine genelleştirmek için N değişkenini alalım ve n değişkeni de fabrikadaki işçi sayısı olsun. Yılın ilk gününün bir çalışma günü olma olasılığı (1 – 1 / N)^n olur çünkü o durumda tüm işçilerin doğumgünü yılın ilk günü değil geriye kalan N – 1 günden biri olmalıdır. Dolayısı ile yılın ilk günü toplam adam-günün beklenen değerine şu kadarlık bir katkıda bulunur:

    n * ((1 – 1 / N)^n) * 1 + n * (1 – (1 – 1 / N)^n) * 0 = n * (1 – 1 / N)^n

    Senenin her bir günü yukarıdaki kadar katkıda bulunur dolayısı ile n sayıda işçinin çalıştığı bir fabrikada çalışılacak adam-günün beklenen değeri n * N * (1 – 1 / N)^n olur. Bunu maksimize etmek için n’yi artırmanın da azaltmanın da toplam değeri azaltması durumunu tespit etmeliyiz, n’nin o değeri maksimumu verecektir:

    (n + 1) * N * (1 – 1 / N)^(n+1) <= n * N * (1 – 1 / N)^n

    ve

    (n – 1) * N * (1 – 1 / N)^(n-1) <= n * N * (1 – 1 / N)^n

    Birinci eşitsizliği düzenlersek:

    (n + 1) * (1 – 1 / N) <= n

    ve buradan

    N <= n + 1

    İkinci eşitsizliği düzenlersek:

    n – 1 <= n * (1 – 1 / N)

    ve buradan

    n <= N

    Bunları birleştirirsek n <= N <= n + 1 çıkar. Buradan da anlaşılır ki n = N olmalı ya da n = N – 1 olmalı. Bunları beklenen değer formülünde yerine koyarsak N^2 * (1 – 1 / N)^N ve (N – 1) * N * (1 – 1 / N)^(N-1) elde ederiz ve bunlar da birbirine eşittir. N. adam bir şey eklemediğine göre fabrikada N – 1 işçi olmalıdır. (1 – 1 / N)^N dizisinin 1 / e değerine yakınsadığına göre çalışılacak adam-gün sayısının değeri yaklaşık olarak N^2 * 1 / e olur. Eğer N işçinin hepsi her gün çalışsa idi N^2 gün çalışırlardı, dolayısı ile 1 / e, %100 çalışmanın ne kadar azalacağını gösteren kesir olarak yorumlanabilir ve bu da yaklaşık 0.37'dir. Fabrikada bulunması gereken işçi sayısı 364'tür ve fabrika yaklaşık 49000 adam-gün çalışır. 364. işçi toplam beklenen değere 0.37 günlük bir katkıda bulunur.

     
  8. myavuzselim

    February 22, 2009 at 20:04

    Evet, hesabimda bir hata olmus. Sunu demisim (buraya gecerken yaptigim hatayi yok sayarsak):

    T(n) = (n-1) * T(n-1)/365 + n * ( 1 – T(n-1)/365 )

    Su olmasi lazimdi:

    T(n) = T(n-1) * T(n-1)/365 + (T(n-1)+1) * ( 1 – T(n-1)/365 )

     

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: