RSS

Gerçek Hayat Fenomenleri: Kumarbazın İflası ve Sarhoşun Yürüyüşü

28 Feb

Çeşitli olasılık problemleri içeren ve bir kısmını burada paylaştığım [1, 2, 3] küçük kitabımı* okumaya ederken eğlenceli şeylerle karşılaşmaya devam ediyorum. Matematik gerçek hayatta ne işimize yarıycak örrttmenimm! serisi, bölüm XVCL, kısım 17:

– Uçurumun kıyısındaki sarhoş kâh uçuruma doğru bir adım atacak, kâh diğer tarafa, yani güvenli bölgeye. Böylece yürüyüp duracak, yahut ölüp gidecek. Düştü düşecek durumda sallanıyor. Gelişigüzel attığı her adımda uçurum tarafına doğru bir adım atma olasılığı 1/3, diğer tarafa doğru adım atma olasılığı 2/3. Sarhoşun uçurumdan kurtulma yani hayatta kalma olasılığı nedir?

– M oyuncusunun 1 lirası, N oyuncusunun 2 lirası var ve bir kumar oynuyorlar. Her oyun sonunda kaybeden oyuncu diğerine 1 lira veriyor. M biraz daha iyi bir oyuncu, herhangi bir oyunda kazanma olasılığı 2/3. Oyunculardan biri iflas edene yani hiç parası kalmayan dek bu oyunu oynuyorlar. M’nin kazanma olasılığı nedir?

Bu sorularla uğraşırken karşıma gelişigüzel yürüyüş (‘random walk’) konusu çıktı:

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk

Markov süreçleri ile bağlantılı olan gelişigüzel yürüyüşlerle ilgili dikkatimi çeken şeylerden biri ise 1 boyutlu ve 2 boyutlu gelişigüzel yürüyüşlerde her noktadan geçme olasılığı 1 yani garanti iken 3 ve daha çok boyutlu gelişigüzel yürüyüşlerde böyle bir garantinin söz konusu olmayışı oldu. Pólya‘nın ispatına göndermede bulunan Wikipedia’nın yalancısıyım. (Bu arada aklıma İTÜ Matematik Mühendisliğindeki olasılık dersinde hocamız Cevdet Cerit’in Markov süreçlerini anlatırken yeterince uzun süre yaşayan bir insanın uyuşturucu alma olasılığının 1 olduğunu gösterişi geldi 😉

Yukarıda anlatılan teorik hikayelere günlük yaşam hikayesi örneği:

– Sizden çok çok çok daha zengin bir kumarhanede adil bir oyun oynuyorsanız (mesela yazı tura) iflas etme olasılığınız 1’dir, yani garantidir. Sahip olduğunuz para miktarı gelişigüzel bir seyir izleyecek ve zaman içinde bir an gelecek ve söz konusu para miktarı 0 noktasından geçecektir yani iflas edeceksinizdir (e ne yapalım o zaman 3 boyutlu kumar mı oynayalım diye iç geçirenlere herhangi bir öneride bulunmak terbiye sınırlarımı aşacaktır).

Bağlantıları ve ipuçlarını takip edince kendi kendini kesmeyen gelişigüzel yürüyüşler kavramı ile de karşılaştım yani gelişigüzel olan ama bir geçtiği noktadan bir daha geçmeyecek şekilde yollar çizen yürüyüşler:

http://en.wikipedia.org/wiki/Self-avoiding_walk

Bununla ilgili Brian Hayes’in ‘How to Avoid Yourself‘ başlıklı American Scientist makalesi kayda değer bilgiler içermekle birlikte benim dikkatimi daha çok çeken şey gelişigüzel yürüyüşler, çizgeler (graflar) üzerindeki gelişigüzel yürüyüşler ve bunların web teknolojiler için kullanımı oldu. Google’daki makale listesindeki şu makaleleri kast ediyorum:

Video Suggestion and Discovery for YouTube: Taking Random Walks Through the View Graph [PDF]
Weakly-Supervised Acquisition of Labeled Class Instances using Graph Random Walks [PDF]

Gelişigüzel yürüyüşler, ekonomik modeller, kumar ve risk üstüne birkaç linkle bu blog notunu nihayet erdireyim:

– NUMB3RS dizisinin çeşitli bölümleri ile ilgili açıklamalar yapan bir matematik profesörünün konu ile ilgili girdisi: A walk on the random side

Ali Nesin’in olasılık yazıları

– Ali Nesin’in Matematik ve Oyun kitabı.


* Frederick Mosteller?in ?Fifty Challenging Problems in Probability? kitabı.

Advertisements
 
4 Comments

Posted by on February 28, 2009 in General, Math, Science

 

4 responses to “Gerçek Hayat Fenomenleri: Kumarbazın İflası ve Sarhoşun Yürüyüşü

  1. mach

    March 1, 2009 at 01:23

    Bilgilendirme için teşekkürler.

    Blogda bulunan makalelerin bütün bağlantılara bakamadım zaman buldukça okumaya çalışacağım.

    Wiki maddelerini geçen gün dolaşırken Albert Einstein’nın(http://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein) Brownian Motion(http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion) üzerine çalışmasına rastladım.

    Alıntı:

    “The mathematical model of Brownian motion has several real-world applications. An often quoted example is stock market fluctuations.” (http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion)

    Stock-market dalganlanmalarının random(rastlantısal) olacağına dair bir iddia söz konusu ise borsa ile ilgilenmenin kumara nazaran herhangi bir getirisi olamayacağını düşünüyorum.

     
  2. Gokhan

    March 1, 2009 at 07:20

    Değerli yazı ve linkler için teşekkürler.

    Yazı-tura oynayan kumarcının iflas etmesindeki kesinlik tuhaf geldi açıkçası, hangi şartlar altında bu sonucun çıkması söz konusu, paylaşabilirseniz çok sevinirim.

     
  3. Emre Sevinc

    March 1, 2009 at 20:30

    mach,

    Finans piyasaları, dalgalanmlar, kriz, vs. bağlamında Taleb’in ‘Fooled by Randomness’ kitabını öneririm, sorduğun soru ile ilgili bazı konular orada ilginç örneklerle açıklanmaya çalışılmış. Aynı yazarın The Black Swan kitabı da Türkçeye çevrilmişti diye hatırlıyorum. İşin içinde borsa gibi çok karmaşık olasılıksal süreçler olunca spekülasyonun bini bir para ve insanlar çok çeşitli psikolojik tuzaklara kapılabiliyorlar maalesef.

     
  4. Emre Sevinc

    March 1, 2009 at 20:32

    Gökhan,

    Söz konusu yazı tura oyununda bazı var sayımlar söz konusu, kumarhanenin sonsuz paraya sahip olması, oyunun sonsuza dek devam etmesi gibi. Yine de tabii sonlu adımda 1/2 olasılıklı, yani adil görünen bir oyunda bu tür var sayımları yapınca iflasın taraflardan biri için garantilenmesi sezgilerimize epey ters, bunu kabul ediyorum.

     

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: