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The Level of High School Mathematics Education in France 220 Years Ago

11 Dec

Whenever new PISA (Programme for International Student Assessment) results are announced, or some journalist writes a piece on the latest state of French baccalauréat exams, many people take a critical look at educational matters and make comparisons. I think a little example from the dusty pages of the history of mathematics can shed some light at the level of high school education in France back in 1800s, that is, almost 220 years ago. Who knows, it might even give some inspiration to people who want to check their standards.

The example is about the famous German mathematician Gauss: He wrote a remarkable book in 1798, humbly titled as “Disquisitiones Arithmeticae” (“Arithmetical Investigations”). The book was first published in 1801, and only 6 years later it was translated into French and published in 1807 as “Recherches arithmétiques“.

The translator of this important book was Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle, a math teacher at a high school: Lycée d’Orléans. Another French high school teacher, Louis Poinsot, wrote a long review about the translation in a daily newspaper on 21 March 1807, Saturday. Poinsot was a mathematics teacher at Lycée Bonaparte in Paris, just like the French translator of Gauss’s book.

The archives of the daily newspaper where Poinsot published his review of “Recherches arithmétiques” is available online at DigiNole Home » FSU Digital Library » Napoleonic Collections » Le Moniteur universel » Moniteur universel

And you can read the review on the second page of the newspaper:

Below you can find the full text that I converted from the online archive using Google OCR (Optical Character Recognition), followed by the automatic English translation (if you want to fix the mistakes of the automatic English translation, please feel free to share your corrections):

French original

Sciences.

Recherches arithmétiques , par M. C. Fr. Gauss (de Brunswick) , traduites par A. C. M. Poullet-Delisle , professeur de mathématiques au Lycée d’Orléans. — Paris 1807.

Au titre modeste de cet ouvrage, quelques personnes pourraient croire d’abord que l’auteur a’y considère que les questions les plus simples. Mais ces Recherches arithmétiques sont au fond , des recherches très-savantes sur les proprietes generales des nombres , et sur l’analyse indéterminée à laquelle elles se lient : matière profonde, inépuisable, la plus neuve et la plus ardue peut-être de toutes les parties des mathématiques.

L’arithmétique élémentaire n’est guères autre chose, comme on sait, que l’art de la numération qui peut s’établir d’une infinité de manières, suivant l’échelle ou la base que l’on veut choisir. Mais les nombres, considérés en eux-mêmes ont des propriétés qui ne dépendent point du tout de la manière dont on les représente. Ainsi il y a des nombres qui ne peuvent etre divises par aucun autre , et qu’on appelle premiers ou simples, parce que tous les autres s’en composent par la multiplication : il y a les nombres figures qu’on nomme triangles, quarrés, pentagones , hexagones, etc. selon que leurs unités considérées comme des points, par exemple, pourraient être arrangées symétriquement en triangle , en quarré, en pentagone, etc. Il y a les di différentes puissances des nombres qu’on produit en les multipliant par eux-mêmes, et une foule d’autres formés par diverses lois et par toutes les combinaisons régulières de celles-là. Or tous ces nombres et leurs propriétés demeurent toujours les mêmes dans tous les systêmes possibles de numération; et de-là résulte un certain genre de spéculations mathématiques d’où naissent plusieurs vérités ou théorèmes qui, avec le peu qu’on ait trouvé jusqu’ici de l’art de se conduire dans ces recherches, constituent cette arithmétique transcendante qu’on nomme aujourd’hui la théorie des nombres.

Ni les bornes, ni la nature de cette feuille ne nous permettraient des développements bien étendus sur cette matière. Pour ceux d’ailleurs qui voudraient l’approfondir, les détails seraient tou. jours insuffisants, et pour les autres, superflus. Nous serons seulement observer que les propriétés qu’on étudie aujourd’hui dans les nombres, n’ont aucun rapport à ces vertus merveilleuses qu’y cherchaient les anciens philosophes. Elles ne regardent que leurs simples manieres d’être les uns à l’égard des autres, comme sous le point de vue des diviseurs qu’ils peuvent avoir, des résidus qu’ils laissent; et en général, on les peut rapporter à certaines possibilités ou imposbilités de décomposer les nombres formés par une certaine loi, en d’autres formés par une loi différente, ou par la même. Elles peuvent donc se partager naturellement en deux grandes classes; les propriétés positives et les propriétes négatives, dont on peut se faire une idée par les théorêmes suivans :

Un nombre quelconque est loujours décomposable en trois triangles, ou en quatre quarres , ou en cinq pentagones , ou en sit hexcugones, el ainsi à l’infini : zéro pouvant quelquefois être compté dans cette décomposition comme un nombre figure.)

Une puissance quelconque au-dessus de la seconde, ne peut jamais se décomposer en deux puissances semblables. Ainsi deux cubes ne peuvent former un cube ; deux bi-quarrés, un biquarré, et de même à l’infini.

L’élégante simplicité de ces théorèmes, leur expression si claire et si bien terminée qu’on les voit à plein du premier coup d’œil; et cependant l’extrême difficulté qui se fait bientôt sentir quand on en veut essayer la démonstration rigoureuse, peuvent expliquer le singulier attrait des questions de ce genre , et l’espèce de passion avec laquelle on s’y livre, dès qu’une fois on a commencé de s’en occuper. Cette science d’ailleurs reste presque toujours nouvelle et promet à chaque pas des découvertes. Les progrès de l’algèbre et l’invention des nouveaux calculs Ont mis successivement les géomètres, en état de vaincre les plus hautes dificultés de la géoméwie et de la mécanique. Un cleve aujourd’hui résout facilement des problemes qui ont arrêté les plus vigoureux génies ; et c’est ce qui fait que l’on ne peut exactement comparer les géometres séparés par d’un peu longs intervalles. Mais ces méthodes qui nous ont si bien fait suivre et mesurec toutes les affections des gran deurs continues, ne nous ont presque rien appris sur le calcul et les combinaisons des quantités discretes. On ne sait guere y appliquer jusque ici plus d’analyse que n’en avait Fermat il y a deux siécles ; et comme ce génie s’était fait sans doute , pour y pénétrer , quelqu’art nouveau dont le secret ne nous est point parvenu, personne n’a pu rétablir encore toutes les démonstrations perdues de la plupart de ses théorêmes, et entre autres, celles des deux précédens qui sont dûs à cet homme extraordinaire. Ainsi, quand les autres branches des mathématiques se sont élevées par degrés à la perfection, et que les géometres y ont si bien réalisé cette allégorie, qu’un enfant monté sur les épaules of Hercule voit plus loin que lui, la doctrine des nombres, malgré leurs travaux, est restée, pour ainsi dire, immobile ; comme pour étre, dans tous les tems , l’épreuve de leurs forces et la mesure de la pénétration de leur esprit.

C’est pourquoi M. Gauss, par un ouvrage aussi profond et aussi neuf que ses Recherches arithmétiques , s’annonce certainement comine une des meilleures têtes mathématiques de l’Europe. Il paraît, dans sa préface, qu’en 1795, où il tourna pour la premiere fois ses réflexions ciu coté des nombres, il n’avait encore aucune idée de ce qui avait été fait avant lui sur cette matiere, même par les modernes Il avait donc presqu’achevé les quatre premieres sections de son livre, sans avoir vu ni les mémoires d’Euler et de Lagrange, qui, entr’autres découvertes ont résolu un assez grand nombre des problêmes de Fermat; ni les mémoires de M. Legendre, si digne de les suivre dans cette camiere, et de nous donner cet excellent ouvrage ou, avec beaucoup de choses nouvelles qui lui appartiennent, il rassemble et met en ordre tout ce qui avait paru jusque-là sur cette importante théorie. M. Gauss se trouvant ensuite à même de lire les écrits de ces géomètres célèbres, ne tarda point à reconnaître qu’il avait employé int plus grande partie de ses méditations à des choses faites depuis long-tems. Mais animé d’une nouvelle ardeur, je m’efforçai, dit-il, en suivant les pas de ces hommes de génie, de cultiver plus avant le champ de l’arithmetique, et talle a été l’origine des sections V , VI et VII; lesquelles composent plus des trois quarts du volume. Quoique nous ne puissions entrer ici, ni dans l’histoire de la science qui remonte à Diophante et même à Euclide, ni dans la discussion des choses qui appartiennent aux différens géomètres, et particulièrement à M. Gauss, nous ne pouvons néanmoins passer sous silence le résultat aussi nouveau qu’inattendu , qu’on trouve à la VII section de ses Recherches sur la théorie des divisions égales du cercle, ou de l’inscription des polygones réguliers. On avait lieu de croire depuis Euclide, que les divisions du cercle par les nombres deux, trois, cinq, et celles qui en résultent, étaient les seules possibles par la regle et le compas. M. Gauss démontre qu’on peut encore exécuter par les mêmes moyens les divisions par dix-sept et par tous les nombres qui, comme deux, trois, cinq et dix-sept sont formés d’une puissance de deux, plus un ; et sont en même tems premiers. Quant aux autres divisions, elles dépendent d’opérations supérieures à celles du compas, ou d’équations qui passent le second degré. M. Gauss assigne les moindres degrés où elles se peuvent réduire ; et nous pouvons , dit-il, démontrer en toute rigueur que ces équations ne sauraient être évitées ni abaissées : et quoique les limites de cet ouvrage ne nous permettent pas d’en développer ici la démonstration, nous avons cru devoir en avertir, pour éviter que quelqu’un n’essayát l’autres divisions géométriques que celles données par notre théorie , et n’employant inutilement son tems à cette recherche.

On pourrait s’étonner d’abord de trouver dans ce livre des problèmes de géométrie, et de les voir résolus par les nombres. Mais dans les sciences mathématiques toutes les vérités, se tiennent par une chaîne nécessaire. Aucune idée n’y peut éclore sans éclairer la plupart des théories qui, à leur tour, perfectionnent les arts qui leur répondent; et la découverte de M. Gauss ne fait que confirmer cette vérité si souvent re ne fait que confirmer cette vérité si souvent reconnue par les géometres : que leurs spéculations les plus frivoles en apparence , développent à la fin quelqu’utilité nouvelle qu’on n’y avait point cherchée, et qu’on voit toujours leurs méditations, au moins innocentes durant leur vie , tourner avec le tems au profit des arts et à l’avantage de la société.

Ce que nous venons de dire sur les Recherches arithmétiques peut donner une idée de la profondeur et de la difficulté de l’ouvrage. Il ne fallait donc pas un moins bon géometre, ni un moins habile traducteur que M. Delisle, pour le bien rendre. Car il ne s’agit pas ici une traduction ordinaire, qui ne demande que la connaissance de deux langues. Il faut sans doute une intelligence Tare, pour comprendre à fond des démonstrations aussi délicates : une attention bien soutenue pour suivre des énumérations si laborieuses, examiner si elles sont complettes, afin de se pénétrer des raisonnemens de l’ameur, de faire saillir dans le discours les points ou la difficulté se forme, et les points où elle se dénoue; et de s’approprier enfin tellement les choses qu’elles paraissent non seulement écrites, mais pensées dans la langue même du traducteur.

M. Delisle doit être récompensé de son travail et de son zèle par le succès. Mais il le sera plus encore par les idées qu’une telle lecture n’a pu manquer de lui faire naître. On voit même, dans son modeste avertissement, qu’il avait d’abord été tenté de joindre au texte des remarques étendues, ou, en éclaircissant la matière, il aurait pu naturellement placer les considérations nouvelles qui se sont offertes a son esprit dans le cours de cette traduction. Mais, à l’exception d’un très-petit nombre de notes très-simples et qui se justifient d’elles-mêmes, il n’a voulu donner que l’ouvrage de M. Gauss tel qu’il est ; aimant mieux attendre , pour son propre travail, que le tems et la méditation l’ait mûri davantage, et rendu plus digne des regards et de l’attention des géometres.

M. Delisle a fait hommage de sa traduction à M. Laplace; hommage bien naturel à plus d’un titre. Ce géometre, en effet, à la gloire brillante de s’être élevé des monumens dans les sciences, et d’en étendre chaque jour le domaine, veut unir la gloire plus douce encore d’accueillir tous les travaux utiles, d’encourager les jeunes talens, et de seconder leurs efforts dans une carrière aussi difficile. C’est une chose dont il semble qu’on ne devrait guere avoir à louer les bommes d’un ordre supérieur ; puisque, n’ayant d’autre objet que la science qu’ils aiment, ils ne font par-la qu’avancer leur ouvrage, et se préparer des successeurs capables de les apprécier et d’être touchés de leur gloire. Toutefois les exemples en sont moins nombreux qu’on ne pourrait le desirer; et nous nous félicitons, comme M. Delisle, d’avoir aussi cette occasion d’être l’interprète de la reconnaissance des jeunes géomètres, pour un homme qui verse à-la-fois de si vives lumieres sur les sciences ,  et répand une si noble émulation parmi ceux qui les cultivent.

L. POINSOT, professeur de mathématiques au Lycée-Bonaparte.

English Translation by Google Translate

Recherches arithmétiques, by Mr. C. Fr. Gauss (of Brunswick), translated by A. C. M. Poullet-Delisle, professor of mathematics at Lycée d’Orléans. – Paris 1807.

In the modest title of this book, some people might think that the author considers the simplest questions. But these arithmetical investigations are at bottom, very scholarly research on the general properties of numbers, and on the indeterminate analysis to which they are bound: deep, inexhaustible matter, the newest and most arduous perhaps of all parts of mathematics.

Elementary arithmetic is nothing more, as we know, than the art of numeration, which can be established in an infinite number of ways, according to the scale or base that we wish to choose. But numbers, considered in themselves, have properties which do not depend at all upon the manner in which they are represented. Thus there are numbers which can not be divided by any other, and which are called prime or simple, because all the others are composed by the multiplication: there are the numbers figures which one names triangles, squares , pentagons, hexagons, etc. according to whether their units considered as points, for example, could be arranged symmetrically in triangles, squares, pentagons, etc. There are the different powers of numbers which are produced by multiplying them by themselves, and a crowd of others formed by various laws and by all the regular combinations of these. Now all these numbers and their properties remain the same in all possible systems of numeration; and from there arises a certain kind of mathematical speculation from which are born several truths or theorems which, with the little that has hitherto been found in the art of conducting oneself in these investigations, constitute this transcendental arithmetic today names the number theory.

Neither the bounds nor the nature of this sheet would allow us to develop well on this subject. For those who would like to deepen, the details would be all. insufficient days, and for others, superfluous. We shall only observe that the properties studied today in numbers have nothing to do with those wonderful virtues sought by ancient philosophers. They look only at their simple ways of being towards each other, as from the point of view of the divisors they may have, of the residues they leave; and, in general, they may be related to certain possibilities or impossibilities of decomposing the numbers formed by a certain law, in others formed by a different law, or by the same. They can, therefore, naturally be divided into two great classes; the positive properties and the negative properties, which we can get an idea from the following theorems:

Any number is always decomposable into three triangles, or four quarters, or five pentagons, or sit hexagons, and so to infinity: zero can sometimes be counted in this decomposition as a number figure.)

Any power above the second, can never be broken down into two similar powers. Thus two cubes can not form a cube; two bi-square, one biquarré, and likewise to infinity.

The elegant simplicity of these theorems, their expression so clear and so well finished that we see them at full sight at first glance; and yet the extreme difficulty which is soon felt when one wishes to try the rigorous demonstration of it, may explain the singular attraction of questions of this kind, and the kind of passion with which one gives oneself to it, as soon as we started to take care of it. This science, moreover, remains almost always new and promises discoveries at every step. The progress of algebra and the invention of new calculations have successively put geometers in a position to overcome the highest difficulties of geometry and mechanics. A key today easily resolves problems that have arrested the most vigorous geniuses; and this is why we can not exactly compare the geometers separated by a few long intervals. But these methods, which have been so well followed and measured by all the affections of continuous granulators, have taught us very little about the calculation and combinations of discrete quantities. It is scarcely possible to apply to it till now more analysis than Fermat did two centuries ago; and as this genius had, no doubt, entered to enter any new art, the secret of which has not reached us, no one has been able to re-establish all the lost demonstrations of most of his theorems, and, among others, those of the two preceding which are due to this extraordinary man. Thus, when the other branches of mathematics have been gradually elevated to perfection, and the geometricians have so well realized this allegory, that a child mounted on the shoulders of Hercules sees farther than him, the doctrine of numbers, in spite of their labors, remained, so to speak, motionless; as if to be, at all times, the test of their strength and the measure of the penetration of their minds.

That is why Mr. Gauss, by a work as profound and as new as his Arithmetical Investigations, is certainly one of the best mathematical heads of Europe. It appears, in his preface, that in 1795, when he turned for the first time his reflections on numbers, he had no idea of ​​what had been done before him on this matter, even by the modernists. He had thus almost completed the first four sections of his book, without having seen either the memoirs of Euler and Lagrange, who, among other discoveries, solved quite a large number of Fermat’s problems; neither the memoirs of M. Legendre, so worthy of following them in this picture, and of giving us this excellent work, or, with many new things belonging to him, he gathers and puts in order all that had hitherto appeared on this important theory. Mr. Gauss, being then in a position to read the writings of these famous geometers, was not long in recognizing that he had used most of his meditations for things long since. But animated by a new ardor, I strove, he said, following the steps of these men of genius, to cultivate further the field of arithmetic, and he was the origin of sections V, VI and VII; which make up more than three quarters of the volume. Although we can not enter here, either in the history of science going back to Diophantus or even to Euclid, or in the discussion of things belonging to different geometers, and particularly to Mr. Gauss, we can not, however, pass over in silence the new and unexpected result found in the seventh section of his Research on the Theory of Equal Divisions of the Circle, or the inscription of regular polygons. It had been reason to believe since Euclid, that the divisions of the circle by the numbers two, three, five, and those which result from it, were the only ones possible by the rule and the compass. Mr. Gauss shows that we can still execute by the same means the divisions by seventeen and by all the numbers which, like two, three, five, and seventeen, are formed of a power of two, plus one; and are at the same time first. As for the other divisions, they depend on operations superior to those of the compass, or equations which pass the second degree. Mr. Gauss assigns the least degrees where they can be reduced; and we can, he says, show with all rigor that these equations can not be avoided or lowered: and although the limits of this work do not allow us to develop here the demonstration, we thought it necessary to warn, to avoid that no one should attempt other geometrical divisions than those given by our theory, and not employing his time unnecessarily in this search.

One might wonder at first to find in this book problems of geometry, and to see them solved by numbers. But in the mathematical sciences all truths stand by a necessary chain. No idea can blossom without enlightening most theories which, in their turn, perfect the arts which answer them; and the discovery of Mr. Gauss only confirms this truth so often only confirms the truth so often recognized by geometers: that their most frivolous speculations appear to develop in the end any new utility There was no point in it, and one always sees their meditations, at least innocent during their life, turn with the time for the benefit of the arts and for the benefit of society.

What we have just said about arithmetic research can give an idea of the depth and difficulty of the work. It was not necessary, therefore, to have a less good geometer or a less skillful translator than M. Delisle, to render it well. For it is not an ordinary translation here, which requires only the knowledge of two languages. It is doubtless necessary to have a rare intelligence, to understand thoroughly such delicate demonstrations: a well-sustained attention to follow such laborious enumerations, to examine whether they are complete, in order to penetrate the arguments of the lover, to project into the discourse the points where the difficulty is formed, and the points at which it resolves itself; and finally to appropriate things so much that they seem not only written but thought in the translator’s own language.

Mr. Delisle must be rewarded for his work and his zeal for success. But it will be even more so by the ideas that such a reading could not fail to bring to birth. We even see, in his modest warning, that he had at first been tempted to add extensive remarks to the text, or, in clarifying the subject, he could naturally have placed the new considerations which were offered to his mind in the during this translation. But with the exception of a very small number of very simple notes, which justify themselves, he only wanted to give the work of Mr. Gauss as he is; Loving better, for his own work, that time and meditation have matured him more, and made him more worthy of the attention and attention of geometers.

Mr. Delisle paid tribute to his translation to Mr. Laplace; tribute very natural in more ways than one. This geometer, in fact, to the brilliant glory of having raised monuments in the sciences, and of extending the domain every day, wants to unite the still gentler glory of receiving all useful works, of encouraging young talents, and second their efforts in such a difficult career. It is something of which it seems that one should hardly have to praise the men of a superior order; since, having no other object than the science they love, they do not advance its work, and prepare successors capable of appreciating them and being touched by their glory. However, the examples are less numerous than might be desired; and we, like Mr. Delisle, welcome this opportunity to be the interpreter of the recognition of young geometricians, for a man who pours so bright light on the sciences, and spreads a noble emulation among those who cultivate them.

L. POINSOT, professor of mathematics at Lycée-Bonaparte.

 
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Posted by on December 11, 2019 in Math, Tarih

 

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